Was ist kartesisches produkt?

Kartesisches Produkt

Das kartesische Produkt (auch Kreuzprodukt genannt) ist eine mathematische Operation, die zwei Mengen miteinander verbindet und eine neue Menge erzeugt, die aus allen geordneten Paaren besteht, deren erste Komponente aus der ersten Menge und deren zweite Komponente aus der zweiten Menge stammt.

Definition:

Seien A und B zwei Mengen. Das kartesische Produkt von A und B, geschrieben A × B, ist die Menge aller geordneten Paare (a, b), wobei a ∈ A und b ∈ B.

Formale Notation:

A × B = {(a, b) | a ∈ A und b ∈ B}

Beispiel:

Sei A = {1, 2} und B = {a, b, c}. Dann ist das kartesische Produkt A × B:

A × B = {(1, a), (1, b), (1, c), (2, a), (2, b), (2, c)}

Wichtige Eigenschaften:

• Reihenfolge: Die Reihenfolge der Mengen ist wichtig. A × B ist im Allgemeinen nicht dasselbe wie B × A.
• Mächtigkeit: Die Mächtigkeit des kartesischen Produkts zweier endlicher Mengen ist das Produkt der Mächtigkeiten der einzelnen Mengen. |A × B| = |A| * |B|.
• Leere Menge: Wenn eine der Mengen leer ist, ist auch das kartesische Produkt leer. A × ∅ = ∅ × A = ∅.

Anwendungen:

Das kartesische Produkt findet in verschiedenen Bereichen Anwendung, darunter:

• Datenbanken: Für die Kombination von Tabellen (https://de.wikiwhat.page/kavramlar/relationale%20Datenbank).
• Computergraphik: Zur Darstellung von 2D- und 3D-Räumen.
• Wahrscheinlichkeitstheorie: Zur Definition des Stichprobenraums (https://de.wikiwhat.page/kavramlar/stichprobenraum).
• Mengenlehre: Als Grundlage für die Definition von Relationen und Funktionen (https://de.wikiwhat.page/kavramlar/funktion%20mathematik).

Verallgemeinerung:

Das Konzept des kartesischen Produkts lässt sich auf mehr als zwei Mengen verallgemeinern. Das kartesische Produkt von n Mengen A1, A2, ..., An ist die Menge aller geordneten n-Tupel (a1, a2, ..., an), wobei ai ∈ Ai für i = 1, 2, ..., n.